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函数(Function)

2020-06-19 家电观察 207 ℃
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正方形面积公式:「正方形的面积等于其边长的平方」。今天,我们换个角度来看这个小学生就会的公式,无论正方形的大小如何变化,只要边长确定了,其面积也就唯一确定了,因为两者之间有面积等于边长的平方这层关係。这种关係,其实就是「函数关係」。以下我们用数学的术语来解释何谓「函数」?

$$x$$ 与 $$y$$ 是两个变数,对于每一个 $$x$$ 值,都恰只有一个 $$y$$ 值与其对应,这种「对应关係」就称为「$$y$$ 是 $$x$$ 的函数」,其中 $$x$$ 称为自变数,$$y$$ 称为应变数。例如 $$y=x^2$$ 就是一个函数,给定 $$x=2$$,则 $$y=2^2=4$$。简单地说,在函数关係中,只要自变数 $$x$$ 确定了,应变数 $$y$$ 也就跟着唯一确定了。

1895 年,清代中国数学家李善兰(1811~1882)和英籍传教士伟烈亚力(Alexander Wylie, 1815~1887)合译的《代微积拾级》中,首先将“function”译为「函数」,李善兰说:「凡此变数中函彼变数,则此为彼之函数。」看来,李善兰在翻译时,已经整握了「函数」的概念。此外,在函数关係中,就算两个不同的 $$x$$ 对应到同一个 $$y$$ 也无妨,例如上述的例子中,$$x=2$$ 与 $$x= -2$$ 都对应到同一个 $$y=4$$。

当 $$y$$ 是 $$x$$ 的函数,一般习惯用 $$f(x)$$ 取代 $$y$$(用 $$g(s)$$、$$h(x)…$$ 亦可),$$f(a)$$ 就称为函数 $$f$$ 在 $$x=a$$ 的函数值,简称为 $$f(a)$$ 是 $$x=a$$ 的函数值。例如 $$y=x^2$$ 就写成 $$f(x)=x^2$$,则 $$f(3)$$、$$f(\sqrt{2})$$、$$f(\pi)$$ 就分别是 $$x=3$$、$$x=2$$、$$x=\pi$$ 代入 $$f(x)=x^2$$ 的函数值(分别是 $$9$$、$$2$$、$$2\pi$$)。

在函数 $$f(x)$$ 中,$$x$$ 有时候是受限制的,例如 $$f(x)=\frac{1}{x}$$,$$x$$ 就不能是 $$0$$。又如 $$f(x)=\sqrt{4-x^2}$$,当我们只限定在实数系中时,$$x$$ 的值就只能在 $$-2$$ 到 $$2$$ 之间。因此,在函数 $$f(x)$$ 中,$$x$$ 所有可能的值所成的全体,就称为函数 $$f(x)$$ 的定义域,而所有函数值所成的全体就称为函数 $$f(x)$$ 的值域,如下图所示。例如 $$f(x)=\sqrt{4-x^2}$$,定义域就是 $$[-2,2]$$(即 $$-2\leq{x}\leq{2}$$,值域就是 $$[0,2]$$(即 $$0\leq{f(x)}\leq{2}$$)。

函数(Function)

现在将我们讨论的範围侷限在实数的範围内,那就可以将数对 $$(x,f(x))$$ 视为坐标平面上的点,则将所有这样的点 $$(x,f(x))$$ 画在坐标平面上,所成的图形就称为函数 $$f(x)$$ 的图形。例如 $$f(x)=x+1$$ 的图形就是过点 $$(0,1)$$ 与 $$(1,2)$$ 的直线(如左下图)。又如 $$f(x)=x^2$$ 的图形就是顶点在原点且开口向上的抛物线(如左下图)。

我们知道函数中,每一个自变数 $$x$$ 都恰只有一个应变数 $$y$$ 与其对应,因此函数图形与铅直线最多只能有一个交点,也就是说许多我们熟悉的图形如三角形、正方形、圆,都不是函数图形(即找不到一个函数使得其图形是三角形、正方形、圆)。虽然如此,函数图形有时候也可会教人大吃一惊,例如数学家狄里克利(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805~1859)在1837 年就给出了一个定义域是 $$[0,1]$$ 的函数:函数(Function),它的图形就十分有趣了。

当我们实际画画看就会发现,无论是用如何细的笔去画,当描的点数目够多时,呈现的结果必定是点 $$(0,0)$$ 到点 $$(1,0)$$,以及点 $$(0,1)$$ 到点 $$(1,1)$$ 这两条线段(如右下图),但仔细想想,这个函数的图形却是处处不相连的,绝非肉眼所见那般。

函数(Function)

总之,若两个变数之间有函数关係,无论这两个变数有多少个值,只要掌握了它们的函数关係,就掌控了全体。生活中或自然科学中,函数的例子不胜枚举,如华氏温度 $$y$$ 与摄氏温度 $$x$$ 的关係:$$y=\frac{9}{5}\cdot{x}+32$$。自由落体落下的距离 $$S$$ 与落下的时间 $$t$$ 之关係:$$S=\frac{1}{2}gt^2$$,$$g$$ 为重力加速度。因此,现代科学的关键数学概念,当然非函数莫属了。